Jeu mathématique : les roues d’Aristote

Le paradoxe des deux roues d’Aristote, appelé aussi paradoxe de la roue d’Aristote, a donné lieu à de nombreux questionnements. Quel est le problème ?

Dans « Les Mécaniques », un texte attribué à Aristote redécouvert à la Renaissance, on trouve un paradoxe intéressant. Le voici. Deux cercles concentriques de rayons différents, dont l’un entraîne l’autre, parcourent, en roulant le même chemin rectiligne. L’un et l’autre achèvent un tour complet au même instant.

Le paradoxe consiste à en conclure l’égalité des circonférences, ce qui est manifestement faux.

Question :

Mais où est l’erreur ?

Réponse :

Du point de vue mécanique, la question est simple : si la grande roue roule sans glisser, la petite glisserait… si elle était en contact avec le sol. Galilée a répondu à ce paradoxe dans l’esprit du calcul infinitésimal naissant. Il approxime le cercle par un polygone régulier et, pour commencer, par un hexagone. Il fait tourner l’ensemble des deux hexagones afin de passer d’un côté du grand au suivant. La surprise vient de la suite des petits côtés, quand ils se succèdent à l’horizontale, car on y trouve des trous.

Quand l’ensemble des deux hexagones tournent, les côtés du grand se succèdent l’un derrière l’autre, mais pas ceux du petit. Entre deux consécutifs, il y a un trou. Quand le…

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Par Hervé Lehning, Normalien, agrégé de mathématiques